Le théorème de Pythagore

(actualisé le ) par Michel Suquet

Théorème

Pour tout triangle rectangle, le carré construit sur le plus grand côté du triangle (ce plus grand côté est appelé l’hypoténuse et il est opposé à l’angle droit) est la somme des carrés construits sur les deux autres côtés.

Ce théorème permet d’additionner ou de soustraire deux carrés pour obtenir encore un carré. Regardez la figure ci-contre qui constitue le logo de l’article : le carré de coté c est la somme des carrés de côtés a et b ; on peut donc aussi dire que le carré de côté a est la différence entre le carré de côté c et celui de côté b.

Démonstration

Il existe des centaines de démonstrations de ce théorème dont beaucoup sont présentées sous la forme de puzzles. Vous en trouverez quelques-unes sur le site du Palais de la Découverte et sur le site des mathématiques magiques.

En voici une dont le départ est constitué des 2 carrés construits sur les côtés de l’angle droit du triangle rectangle. On dispose ces 2 carrés comme l’image suivante le montre puis on reporte le côté du petit carré sur le côté du grand carré :

On retrouve alors le triangle rectangle 2 fois :

Les 2 segments que nous venons de tracer forment un angle droit : voyez-vous pourquoi ?

Découpons le triangle rectangle en rouge :

Et déplaçons-le :

Découpons de même l’autre triangle rectangle :

Et déplaçons-le :

On obtient un carré (savez-vous expliquer pourquoi ?) dont le côté est justement l’hypoténuse du triangle rectangle.

Ainsi, le carré obtenu est la somme des deux carrés initiaux, ce qui démontre le théorème de Pythagore.

Démonstration de Léonard

Une autre démonstration, parmi les plus belles, est dûe à Léonard de Vinci. Elle est basée sur la figure suivante :

En observant cette figure, je vous laisse le soin de comprendre comment on passe des 2 carrés construits sur l’angle droit au carré de l’hypoténuse...