Carrés et racines carrées

(actualisé le ) par Michel Suquet

Calculer le carré d’un nombre est relativement simple : il suffit de multiplier le nombre par lui-même.

Par exemple, le carré de $3$ est $9$ puisque $3 \times 3 = 9$
et le carré de $ 5,7$ est $32,49$ puisque $5,7 \times 5,7 = 32,49$.

La table des carrés

Comme pour une table de multiplication, il existe une table des carrés que je vous conseille d’apprendre par cœur :

nombre $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$ $13$ $14$ $15$
carré du nombre $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ $49$ $64$ $81$ $100$ $121$ $144$ $169$ $196$ $225$

Lien avec la géométrie

En fait, quand on multiplie un nombre par lui-même, si ce nombre mesure le côté d’un carré, on obtient l’aire du carré : c’est pour cette raison que nos ancêtres ont appelé carré le résultat du produit d’un nombre par lui-même.

On note aussi le carré de $3$ avec un $2$ en exposant après le $3$ ; comme ceci : $3^2$ [1].

Si on appelle $n$ un nombre, son carré est noté $n^2$, ce qui se lit "$n$ au carré" ou parfois "$n$ carré". On retrouve cela dans les unités d’aires avec $cm^2$ qui est obtenu en multipliant $cm$ par $cm$.

Par exemple, $3 \, cm \times 4 \, cm = 3 \times 4 \, cm \times cm = 12 \, cm^2$.

La racine carrée

Si calculer le carré d’un nombre est simple, dans l’autre sens, lorsque l’on cherche le nombre dont le carré est connu, cela peut-être plus ou moins compliqué.

Pour cette recherche, on utilise la table des carrés inversée :

nombre $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ $49$ $64$ $81$ $100$ $121$ $144$
racine carrée du nombre [2] $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$

Par exemple, $3$ est le nombre dont le carré est $9$ : un coup d’œil dans la table des racines carrées donne rapidement ce résultat.

On dit que $3$ est la racine carrée de $9$.

Autre exemple, pour le nombre dont le carré est $17$, on ne voit pas $17$ dans la liste des carrés de la table
cependant, on voit que $16 < 17 < 25$
et comme $16$ est le carré de $4$ et $25$ est celui de $5$
il en résulte que le nombre cherché est compris entre $4$ et $5$
donc la racine carrée de $17$ est comprise entre $4$ et $5$.

Est-ce $4,5$ ?

Vérifions : $4,5 \times 4,5 = 20,25$
c’est trop grand donc la racine carrée de $17$ est comprise entre $4$ et $4,5$.

Si on "creuse" un peu plus, pour en savoir davantage sur cette racine, on peut vérifier que la racine carrée de $17$ est comprise entre $4,1$ et $4,2$ puisque $4,1^2 = 16,4$ et que $4,2^2 = 17,64$.

Vous comprenez maintenant pourquoi nos ancêtres ont appelé ce nombre la racine carrée : cela évoque quelque chose qui est caché, comme un trésor…

La racine carrée de $17$ est d’ailleurs bien cachée car qu’il n’y a pas de nombre décimal égal à la racine carrée de $17$ [3] et c’est pourquoi nos ancêtres [4] ont inventé un signe spécial pour écrire symboliquement ce nombre : $\displaystyle\sqrt{17}$ qui se lit "racine carrée de $17$". [5].

Cette notation permet de compléter la table des racines carrées :

nombre $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
racine carrée du nombre $0$ $1$ $\displaystyle\sqrt{2}$ $\displaystyle\sqrt{3}$ $2$ $\displaystyle\sqrt{5}$ $\displaystyle\sqrt{6}$ $\displaystyle\sqrt{7}$ $\displaystyle\sqrt{8}$ $3$ $\displaystyle\sqrt{10}$


On peut remarquer que $\displaystyle\sqrt{0} = 0$, $\displaystyle\sqrt{1} = 1$, $\displaystyle\sqrt{4} = 2$, $\displaystyle\sqrt{9} = $3, $\displaystyle\sqrt{16} = 4$, …

Un schéma géométrique

Retenez que la racine carrée correspond au côté du carré et le carré à l’aire du carré. Ce qui se traduit par le schéma suivant :


Utiliser la calculatrice

La calculatrice a une touche particulière pour obtenir rapidement la racine carrée d’un nombre : $\displaystyle\sqrt{\blacksquare}$

Pour actionner cette touche, il faut d’abord appuyer sur la touche SECONDE.

puis avec 17…

On obtient $\sqrt{17} \approx 4{,}123105626$
Ce qui donne $4,12$ comme valeur approchée au centième de $\displaystyle\sqrt{17}$.

Notes

[1à ne pas confondre avec $3 \times 2$ qui est égal à $6$ alors que $3^2$ est égal à $9$

[2c’est ainsi que s’appelle le nombre dont on connait le carré

[3en fait, il y a une infinité de chiffres après la virgule

[4il s’agit principalement de Rudolff en 1525, de Stiefel en 1553 et de Descartes en 1637

[5Le signe $ \sqrt $ est appelé le radical