Triangle inscrit dans un demi-cercle

(actualisé le ) par Michel Suquet

Pour obtenir un triangle rectangle, il suffit de placer un point sur un cercle et de prendre un diamètre de ce cercle.

Regardez la figure ci-dessous : on a un point B sur le cercle et un diamètre [AC] de ce cercle ; vous obtenez un triangle ABC qui est rectangle en B (vous pouvez déplacer des points sur cette figure).

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On a le théorème suivant, théorème connu dès l’époque de Thalès (mathématicien du VIIe siècle avant JC) :

Théorème

Tout point d’un cercle forme avec tout diamètre de ce cercle un triangle rectangle.

Démonstration

L’idée est de compléter la figure en traçant le rayon [OB], O étant le centre du cercle.

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Ce qui nous donne les triangles AOB et BOC isocèles en O.
Si maintenant on s’intéresse aux angles, on sait qu’un triangle isocèle a 2 angles égaux.
On a donc $\widehat{OAB}$ = $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$
On sait aussi que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°
donc, pour le triangle ABC, on a : $\widehat{OAB}$ + $\widehat{OBA}$ + $\widehat{OBC}$ + $\widehat{OCB}$ = 180°
Comme $\widehat{OAB}$ = $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$,
il en résulte que :$2 \times \widehat{OBA} + 2 \times \widehat{OBC}$ = 180°, c’est-à-dire : $2 \times \widehat{OBA} + 2 \times \widehat{OBC} = 2 \times 90$°
et donc, en divisant par 2, on a : $\widehat{OBA} + \widehat{OBC}$ = 90°
Or, $\widehat{OBA} + \widehat{OBC}$ = $\widehat{ACB}$, ce qui donne $\widehat{ACB}$ = 90°
donc ABC est un angle droit, ce qui montre que le triangle ABC est rectangle en B.