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Triangle inscrit dans un demi-cercle

par Michel Suquet

Pour obtenir un triangle rectangle, il suffit de placer un point sur un cercle et de prendre un diamètre de ce cercle.

Regardez la figure ci-dessous : on a un point B sur le cercle et un diamètre [AC] de ce cercle ; vous obtenez un triangle ABC qui est rectangle en B (vous pouvez déplacer des points sur cette figure à l’aide de geogebra).

 

On a le théorème suivant, théorème connu dès l’époque de Thalès (mathématicien du VIIe siècle avant JC) :

Théorème

Tout point d’un cercle forme avec tout diamètre de ce cercle un triangle rectangle.

 

Démonstration

L’idée est de compléter la figure en traçant le rayon [OB], O étant le centre du cercle (vous pouvez utiliser geogebra, la figure est dynamique).

Ce qui nous donne les triangles AOB et BOC isocèles en O.

Si maintenant on s’intéresse aux angles, on sait qu’un triangle isocèle a 2 angles égaux.
On a donc $\widehat{OAB}$ = $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$

On sait aussi que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°
donc, pour le triangle ABC, on a : $\widehat{OAB}$ + $\widehat{OBA}$ + $\widehat{OBC}$ + $\widehat{OCB}$ = 180°

Comme $\widehat{OAB}$ = $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$,
il en résulte que :$2 \times \widehat{OBA} + 2 \times \widehat{OBC}$ = 180°, c’est-à -dire : $2 \times \widehat{OBA} + 2 \times \widehat{OBC} = 2 \times 90$°
et donc, en divisant par 2, on a : $\widehat{OBA} + \widehat{OBC}$ = 90°

Or, $\widehat{OBA} + \widehat{OBC}$ = $\widehat{ACB}$, ce qui donne $\widehat{ACB}$ = 90°

donc ABC est un angle droit, ce qui montre que le triangle ABC est rectangle en B.

 

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