Cercle circonscrit d’un triangle rectangle

(actualisé le ) par Michel Suquet

Pourquoi un triangle qui a un angle droit s’appelle-t-il un triangle rectangle ?

La réponse est très simple : car c’est la moitié d’un rectangle.

Regardez la figure ci-dessous :

1. figure 1

Pour tracer le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle rectangle (on dit qu’il est circonscrit au triangle), il suffit donc de tracer le cercle qui passe par les 4 sommets du rectangle.

Mais c’est très simple : il suffit de tracer les diagonales du rectangle ; elles se coupent en un point qui est le centre du cercle.

2. figure 2

En effet, dans un rectangle, les diagonales sont de la même longueur et se coupent en leurs milieux, ce qui veut dire que les quatre demi-diagonales sont des rayons du cercle de centre ce point d’intersection et passant par les sommets.

Cela nous montre donc que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.

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Ce qui donne le théorème suivant :

Pour tout triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.