Les puissances d’un nombre

(actualisé le ) par Michel Suquet

Exposant entier positif

Lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois, on obtient une puissance de ce nombre.

Par exemple, $3$×$3$×$3$×$3$×$3$×$3$×$3$ est une puissance de $3$.
On la note $3^7$ car il y a $7$ facteurs égaux à $3$.

En effectuant le calcul, on obtient : $3^7$=$2\,187$.

Remarque : comme $7$ est en exposant, on dit « $3$ exposant $7$ ».

Parfois, on dit aussi « $3$ puissance $7$ »

Les puissances de 2

De même, on obtient :

$2^1$=$2$, $2^2$=$4$, $2^3$=$8$, $2^4$=$16$, $2^5$=$32$, $2^6$=$64$, $2^7$=$128$, $2^8$=$256$, …

Par exemple, si on veut calculer $2^9$, il suffit de multiplier $2^8$ par $2$, ce qui donne : $2^9$=$512$.
De même, $2^{10}$=$2$×$2^9$=$2$×$512$=$1\,024$.

Les puissances de $2$ sont très utilisées en informatique. Par exemple pour les capacités des supports comme les clés USB : 128 Mo, 512 Mo, 256 Mo, 1$\,$024 Mo ( ou 1 Go), …

Les puissances de 3

$3^1$=$3$, $3^2$=$9$, $3^3$=$27$, $3^4$=$81$, $3^5$=$243$, $3^6$=$729$, $3^7$=$\,$, $3^8$=$6\,561$, $3^9$=$19\,683,$ $3^{10}$=$59\,049$

Les puissances de 4

$4^1$=$4$, $4^2$=$16$, $4^3$=$64$, $4^4$=$256$, $4^5$=$1\,024$, $4^6$=$4\,096$, $4^7$=$16\,384$, $4^8$=$65\,536$, $4^9$=$262\,144$, $4^{10}$=$1\,048\,576$

Les puissances de 5

$5^1$=$5$, $5^2$=$25$, $5^3$=$125$, $5^4$=$625$, $5^5$=$3\,125$, $5^6$=$15\,625$, $5^7$=$78\,125$, $5^8$=$390\,625$, $5^9$=$1\,953\,125$ , $5^{10}$=$9\,765\,625$

Exposant entier négatif

En examinant les puissances successives obtenues, on remarque que pour passer d’une puissance d’un nombre à la suivante, il suffit de multiplier par le nombre et donc, pour passer à la précédente, il suffit de diviser par le nombre.

Cela nous permet d’étendre les tables de puissances aux exposants négatifs :

… $4^{-7}$ $\qquad$ $4^{-6}$ $\qquad$ $4^{-5}$ $\qquad$ $4^{-4}$ $\qquad$ $4^{-3}$ $\qquad$ $4^{-2}$ $\qquad$ $4^{-1}$ $\qquad$ $4^{0}$ $\qquad$ $4^{1}$ $\qquad$ $4^{2}$ $\qquad$ $4^{3}$ $\qquad$ $4^{4}$ $\qquad$ $4^{5}$ $\qquad$ $4^{6}$ …

Nous connaissons $4^1$, qui est égal à $4$, donc pour obtenir $4^0$, il suffit de diviser $4$ par $4$ : $4$÷$4$=$1$ donc $4^0$=$1$.

Maintenant, nous connaissons $4^0$, qui vaut $1$, donc en le divisant par $4$, on va obtenir $4^{-1}$ :

$4^{-1}$=$4^0$÷$4$=$1$÷$4$=${\frac{1}{4}}$

Continuons : nous connaissons $4^{-1}$, en le divisant par 4, on obtient $4^{-2}$.

$4^{-2}$=$4^{-1}$÷$4$=${\frac{1}{4}}$÷$4$=${\frac{1}{4}}$×${\frac{1}{4}}$=${\frac{1}{4\times4}}$=${\frac{1}{4^2}}$

De même :

$4^{-3}$=$4^{-2}$÷$4$=${\frac{1}{4^2}}$÷$4$=${\frac{1}{4^2}}$×${\frac{1}{4}}$=${\frac{1}{4^2\times4}}$=${\frac{1}{4^3}}$

$4^{-4}$=$4^{-3}$÷$4$=${\frac{1}{4^3}}$÷$4$=${\frac{1}{4^3}}$×${\frac{1}{4}}$=${\frac{1}{4^3\times4}}$=${\frac{1}{4^4}}$

$4^{-5}$=$4^{-4}$÷$4$=${\frac{1}{4^4}}$÷$4$=${\frac{1}{4^4}}$×${\frac{1}{4}}$=${\frac{1}{4^4\times4}}$=${\frac{1}{4^5}}$

Vous avez sans doute remarqué qu’à chaque fois on obtient l’inverse de la puissance avec l’exposant positif : $4^{-1}$ est l’inverse de $4^1$, $4^{-2}$ est l’inverse de $4^2$, $4^{-3}$ est l’inverse de $4^3$, …

En continuant ainsi, et pour d’autres tables de puissances, nous voyons que cela est général. Par exemple, $7^{-4}$ est l’inverse de $7^4$.

D’où la définition suivante : $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ et la formule correspondante est : $a^{-n}$=${\frac{1}{a^n}}$

Remarque : il est nécessaire que $a$ soit différent de zéro, pour pouvoir diviser par $a$.

Exposant égal à 0

Lorsqu’on a complété la table des puissances de $4$ pour les exposants négatifs, on a vu que $4^0$=$1$ puisque cela provient de $4^1$=$4$ que l’on divise par $4$.

Pour les autres tables de puissances, par exemple celle de $7$, on a le même résultat :

$7^0$=$7^1$÷$7$=$7$÷$7$=$1$

On a donc la formule : $a^0$=$1$ avec $a$ différent de zéro bien entendu.

Formulaire

En résumé, on a les formules suivantes :


- pour tout entier positif $n$ tel que $n>1$ et pour tout nombre $a$, $a^n$=$\underbrace{a\times... \times a}_{\rm n~;facteurs~;égaux~; à~; a} $
- pour $n=1$ et pour tout nombre $a$, $a^1=a$
- pour $n=0$ et pour tout nombre $a$ tel que $a\ne0$, $a^0=1$
- pour tout entier relatif $n$ et pour tout nombre $a$ tel que $a\ne0$, $a^{-n}={\frac{1}{a^n}}$

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences. En voici quelques-unes.

- vers l’infiniment grand :
$10^0=1$, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1\,000$, $10^4=10\,000$, $10^5=100\,000$, $10^6=1\,000\,000$, …

$10^{100}=1\,gogol$ ← vous avez remarqué ce nom rigolo ;-)

- vers l’infiniment petit :
$10^{-1}=0,1$, $10^{-2}=0,01$, $10^{-3}=0,001$, $10^{-4}=0,0001$, $10^{-5}=0,00001$, $10^{-6}=0,000001$, …