L’hôtel Infini

(actualisé le ) par Michel Suquet

Vous avez sans doute une vague notion de ce qu’est l’infini : "quelque chose qui n’a pas de fin" et qu’il n’y a pas matière à calculer avec. Pourtant, les mathématiciens ont trouvé comment calculer avec l’infini et qu’il y a avait plusieurs sortes d’infinis.

Pour vous donner une idée de ce que l’on peut faire avec l’infini, imaginer un hôtel dont le nombre de chambres est infini ; c’est l’hôtel Infini.

On pourrait penser que cet hôtel a toujours une chambre à vous proposer et pourtant une première énigme est la suivante : un jour, un voyageur se présente à l’hôtel Infini et demande une chambre pour la nuit mais, ce jour-là, le réceptionniste indique au voyageur que l’hôtel est complet. Comment faire pour que le voyageur puisse avoir tout de même une chambre ?

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Et bien, vous avez sans doute trouvé une solution à cette énigme : le réceptionniste, qui est un peu mathématicien (c’est d’ailleurs un des critères pour être embauché dans cet hôtel), a réussi à trouver une chambre pour notre voyageur. Comme dans tout hôtel, les chambres sont numérotées : 1, 2, 3, 4… et notre réceptionniste a demandé à chaque hôte de passer dans la chambre suivante. Ainsi, l’hôte de la chambre 1 est allé dans la chambre 2, l’hôte de la chambre 2 est allé dans la chambre 3, et ainsi de suite. Cela a permis au voyageur d’avoir la chambre 1 et de ne pas se retrouver à la rue :-)

Une deuxième énigme vous donnera une deuxième idée des possibilités de l’infini : supposons qu’une infinité de voyageurs se présentent à l’hôtel Infini et que celui-ci soit à nouveau complet. Saurez-vous trouver comment doit faire le réceptionniste pour que chaque voyageur ait une chambre ?

Nous devons à Georg Cantor des travaux importants sur l’infini dans le cadre de la théorie des ensembles avec notamment les transfinis.