Angles et droites parallèles

(actualisé le ) par Michel Suquet

Théorème

Si deux droites et une sécante déterminent des angles alternes-internes égaux alors ces deux droites sont parallèles.
Réciproquement, si deux droites sont parallèles et si une sécante détermine des angles alternes-internes avec ces deux droites alors ces angles alternes-internes sont égaux.

Remarque : on a le même théorème en remplaçant alternes-internes par correspondants.

Démonstration

- Considérons 2 droites $d_1$ et $d_2$ et une droite sécante qui coupe $d_1$ en $A$ et $d_2$ en $B$ et supposons que les angles alternes-internes $\widehat{CAB}$ et $\widehat{DBA}$ sont égaux ; traçons la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire à $d_2$ en $H$.

La droite $(AH)$ est perpendiculaire à la droite $d_2$ en $H$
donc $\widehat{AHB}=90°$
Et on sait que la somme des angles du triangle $AHB$ est égale à $180°$
donc $\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=180°-\widehat{AHB}=180°-90°=90°$
Or, $\widehat{HBA}=\widehat{BAC}$
donc $\widehat{HAB}+\widehat{BAC}=90°$
donc $\widehat{HAC}=90°$
donc la droite $(AH)$ est perpendiculaire à la droite $d_1$
Ainsi, les droites $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires à la droite $(AH)$
donc les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles. CQFD

- Considérons 2 droites $d_1$ et $d_2$ et une droite sécante qui coupe $d_1$ en $A$ et $d_2$ en $B$ et supposons que les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles ; traçons la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire à $d_2$ en $H$.

En reprenant le raisonnement ci-dessus, on a :
$\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90°$
Ce qui donne :
$\widehat{HBA}=90°-\widehat{HAB}$ $(1)$
Or les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $d_2$
donc $(AH)$ est aussi perpendiculaire à $d_1$
donc $\widehat{CAH}=90°$
donc $\widehat{CAB}+\widehat{BAH}=90°$
donc $\widehat{CAB}=90°-\widehat{BAH}$
et, en comparant avec l’égalité $(1)$ obtenue ci-dessus, on a $\widehat{CAB}=\widehat{HBA}$
Ce qui montre que les angles alternes-internes $\widehat{CAB}$ et $\widehat{HBA}$ sont égaux. CQFD

- Si on a des angles correspondants, on peut facilement obtenir des angles alternes-internes et inversement. Pour le comprendre, regardons la figure suivante.

Les angles 1 et 2 sont correspondants et les angles 1 et 3 sont alternes-internes.

Or les angles 2 et 3 sont opposés par leur sommet donc ils sont égaux.

En conséquence, si on a des angles correspondants 1 et 2 égaux, il en résulte qu’on a des angles alternes-internes 1 et 3 égaux ; et inversement. D’où la remarque.