Perpendiculaires et parallèles

(actualisé le ) par Michel Suquet

Théorème 1

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles.

Théorème 2

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites alors cette troisième droite est perpendiculaire à l’autre.

Démonstration

- Considérons deux droites $d_1$ et $d_2$ et une troisième droite $d$ telle que $d_1 \perp d$ et $d_2 \perp d$.

Supposons que $d_1$ et $d_2$ ne soient pas parallèles alors elles seraient sécantes en un point $A$ et on aurait 2 droites passant par $A$ et perpendiculaires à la droite $d$.
Or, il n’y a qu’une seule droite qui soit perpendiculaire à le droite $d$ et qui passe par le point $A$.
Ainsi, la supposition que nous avons faite n’est pas compatible avec cette propriété,
donc $d_1$ et $d_2$ sont parallèles. CQFD

- Considérons deux droites $d_1$ et $d_2$ parallèles et une troisième droite $d$ telle que $d_1 \perp d$. Soit $A$ l’intersection de $d_1$ avec $d$ et $B$ l’intersection de $d_2$ avec $d$.

Considérons la droite $d_3$ qui passe par $B$ et qui est perpendiculaire à le droite $d$.
Ainsi, on a $d_3 \perp d$ et $d_1 \perp d$
donc $d_3 // d_1$
Ce qui montre que $d_3$ passe par $B$ en étant parallèle à $d_1$
et on a aussi $d_2$ passe par $B$ en étant parallèle à $d_1$
Or, il n’y a qu’une seule droite qui passe par $B$ en étant parallèle à $d_1$
donc $d_3$ et $d_2$ sont la même droite
donc $d_2$ est perpendiculaire à $d$. CQFD