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Déterminer graphiquement une fonction affine

par Michel Suquet

Une fonction affine f est une fonction dont la forme algébrique s’écrit f(x) = ax+b et qui est donc déterminée par les deux nombres a et b.

Le nombre a est le coefficient directeur et le nombre b est l’ordonnée à l’origine. Ce vocabulaire est lié à la représentation graphique d’une fonction affine qui est une droite.

Ce que nous allons expliquer dans cet article, c’est comment déterminer graphiquement les deux nombres a et b qui interviennent dans l’expression algébrique.

Un 1er exemple

Pour que vous puissiez suivre plus facilement les explications, prenons la représentation graphique d’une première fonction f :

Comme cette représentation graphique est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, la fonction f est affine donc de la forme f(x) = ax+b d’après la définition des fonctions affines.

– Prenons x=0, on a donc f(0) = a\times0+b = 0+b = b
donc la droite qui représente f passe par le point de coordonnées (0 ;b).

Sur le graphique ci-dessus, on peut donc lire la valeur de b (l’ordonnée à l’origine) en prenant l’intersection de la droite qui représente graphiquement f et de l’axe des ordonnées : c’est pour cette raison que b se nomme l’ordonnée à l’origine.

Dans cet exemple, on peut lire graphiquement que b=-1.

– Prenons x=1, ce qui nous donne f(1) = a\times1+b = a+b
Calculons la différence entre f(1) et f(0) :
f(1)-f(0) = (a+b)-b = a+b-b = a
Ainsi, la différence entre l’image de 1 par f et celle de 0 par f est le nombre a.

Sur le graphique , cette différence se lit sur l’axe des ordonnées et donne la valeur du coefficient directeur a : c’est la distance entre l’image de 1 et celle de 0 ; elle est positive si f(1) est au-dessus de f(0) et négative dans le cas contraire.

Pour cet exemple, nous avons donc, graphiquement, a = 3.

En conclusion, la fonction f est telle que f(x) = 3x-1.

Un 2ème exemple

La lecture graphique de la différence f(1)-f(0) comme dans l’exemple ci-dessus n’est pas toujours aussi aisée. Prenons la représentation graphique d’un 2ème fonction affine g pour le comprendre et voir comment on contourne cette difficulté.

Sur ce graphique, on a encore b = -1 (l’ordonnée à l’origine}) mais la différence f(1)-f(0) n’est pas lisible avec précision :

Pour contourner cette difficulté, on va repérer 2 points de coordonnées entières sur la droite qui représente la fonction affine g : par exemple, le point A(0 ;-1) et le point B(3 ;4) qui sont sur la droite qui représente la fonction affine g :

Considérons alors le chemin suivant pour aller de A à B :

Nous voyons que pour passer du point A au point B, on avance horizontalement de 3\, unités puis on monte de 5\, unités. Ce qui donne un triangle rectangle avec le segment de droite [AB].

Or, nous voulions plutôt avancer horizontalement de 1\, unité pour monter de a\, unités comme dans le 1er exemple.

Comparons ces 2 triangles, le triangle rouge et le triangle noir :

Le théorème de Thalès nous assure qu’ils ont des côtés proportionnels : \dfrac{a}{1} = \dfrac{5}{3}

donc a = \dfrac{5}{3}

Vérifions en calculant les images de 0 et de 3 par g :
g(0) = \dfrac{5}{3} \times {0}-1 = 0-1 = -1
g(3) = \dfrac{5}{3} \times {3}-1 = 5-1 = 4
On retrouve les coordonnées des points A(0 ;-1) et B(3 ;4).

En conclusion, la fonction g est telle que g(x) = \dfrac{5}{3} {x}-1.

Un 3ème exemple

Prenons un 3ème exemple avec une fonction h dont la représentation graphique est la droite passant par les points A(-1 ;5) et B(2 ;-1).

La représentation graphique de h étant une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, h est donc une fonction affine et donc de la forme h(x) = ax+b.

Graphiquement, on lit que b = +3 (l’ordonnée à l’origine) :

Puis, pour passer du point A au point B, on avance horizontalement de +3 et on descend verticalement de -6 (voir les flèches sur le graphique)
donc a = \displaystyle\frac{-6}{+3} = -2

Vérifions cela :
h(-1) = -2\times{-1} + 3 = 2+3 = 5
h(2) = -2\times{2} + 3 = -4+3 = -1
On retrouve bien les coordonnées des points A et B.

En conclusion, la fonction h est telle que g(x) = -2x+3.

Une formule générale

En fait, on a une méthode générale pour déterminer le coefficient directeur d’une fonction affine : c’est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses correspondantes.

Théorème

Si f est une fonction affine alors, pour tous les nombres x_1 et x_2 distincts, a = \displaystyle{f(x_1)-f(x_2)}\over\displaystyle{x_1-x_2}

Preuve
Soit une fonction f affine et prenons 2 nombres différents x_1 et x_2.

f étant affine, son expression algébrique est de la forme f(x) = ax+b d’après la définition des fonctions affines.

Avec les nombres x_1 et x_2, on a : f(x_1) = ax_1+b et f(x_2) = ax_2+b

Calculons la différence f(x_1)-f(x_2) :

f(x_1)-f(x_2) = (ax_1+b)-(ax_2+b) = ax_1+b-ax_2-b = ax_1-ax_2 = a\times(x_1-x_2)

On a donc f(x_1)-f(x_2) = a\times(x_1-x_2)

Or x_1-x_2 \ne 0 puisque x_1 et x_2 sont distincts, on peut donc diviser cette égalité par x_1-x_2 :

a = \displaystyle{f(x_1)-f(x_2)}\over\displaystyle{x_1-x_2} CQFD

Utilisation
Prenons le 3ème exemple ci-dessus :

la représentation graphique de la fonction affine h passe par les points A(-1 ;5) et B(2 ;-1)
donc h(-1) = 5 et h(2) = -1.

Utilisons la formule en prenant x_1 = -1 et x_2 = 2 : a = \displaystyle{h(-1)-h(2)}\over\displaystyle{-1-2}

remplaçons h(-1) et h(2) par leurs valeurs respectives 5 et -1 :

a = \displaystyle{5-(-1)}\over\displaystyle{-1-2} = \displaystyle{5+1}\over\displaystyle{-1-2} = \displaystyle{6}\over\displaystyle{-3} = -2

On a donc a = -2 qui est bien la valeur que l’on avait obtenu graphiquement.