Qu’est-ce qu’une fraction irréductible ?

(actualisé le ) par Michel Suquet

Si on prend la fraction $\displaystyle\frac{8}{20}$, on peut la simplifier car $\displaystyle\frac{8}{20} = \frac{4 \times 2}{10 \times 2} = \frac{4}{10}$.

Au lieu de dire simplifier, on peut dire aussi réduire [1].

Cependant, la fraction $\displaystyle\frac{4}{10}$ peut, elle aussi, être réduite (ou simplifiée) car $\displaystyle\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
mais $\displaystyle\frac{2}{5}$ ne peut pas être réduite : c’est pour cela qu’on dit que $\displaystyle\frac{2}{5}$ est irréductible.

La réduction est donc une transformation [2]
et lorsqu’on ne peut plus simplifier une fraction, on dit qu’elle est irréductible.

Rendre des fractions irréductibles permet par exemple de faciliter leur comparaison.

Exemple 1 : pour comparer $\displaystyle\frac{14}{21}$ et $\displaystyle\frac{22}{33}$, on peut commencer par les rendre irréductibles.
d’une part $\displaystyle\frac{14}{21} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{2}{3}$ et d’autre part $\displaystyle\frac{22}{33} = \frac{2 \times 11}{3 \times 11} = \frac{2}{3}$

ce qui montre que $\displaystyle\frac{14}{21} = \frac{22}{33}$.

Exemple 2 : pour comparer $\displaystyle\frac{14}{21}$ et $\displaystyle\frac{24}{32}$, on peut commencer par les rendre irréductibles.
$\displaystyle\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ (voir le 1er exemple) et $\displaystyle\frac{24}{32} = \frac{8 \times 3}{8 \times 4} = \frac{3}{4}$.
Ce qui montre, dans un premier temps, que $\displaystyle\frac{14}{21}$ et $\displaystyle\frac{24}{32}$ ne sont pas égales car sinon on aurait obtenu la même fraction irréductible.
Il faut donc comparer $\displaystyle\frac{2}{3}$ et $\displaystyle\frac{3}{4}$.

Pour cela, on va les transformer de façon qu’elles aient le même dénominateur (on dit qu’on les "réduit au même dénominateur") en cherchant un nombre qui est à la fois dans la table de 3 et de 4 : on peut prendre 12 car 12 = 3×4 !

On a donc $\displaystyle\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ et $\displaystyle\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$.

Comme $\displaystyle\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, on en déduit que $\displaystyle\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ et donc que $\displaystyle\frac{14}{21} < \frac{24}{32}$.

Notes

[1mais "réduire" n’est pas un synonyme de simplifier…

[2souvent c’est une simplification pour les fractions, mais pas toujours…