La réciproque du théorème de Pythagore

(actualisé le ) par Michel Suquet

Vous savez que pour tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés (voir Le théorème de Pythagore) mais existe-t-il des triangles qui ne soient pas rectangles et dont le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres côtés ?

La réponse est non : C’est appelé la réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème

Si un triangle est tel que le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est un triangle rectangle.

Démonstration

Soit un triangle tel que le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres côtés. Démontrons que ce triangle est un triangle rectangle.

Pour cela, nommons ABC ce triangle avec AB² = BC² + CA² et voyons pourquoi ABC est un triangle rectangle.

L’idée de cette démonstration est de construire un triangle rectangle avec les côtés [AC] et [CB] puis d’expliquer que ce triangle est superposable avec ABC ; comme l’un des triangles est un triangle rectangle, l’autre aussi.

Commençons par construire le triangle rectangle : traçons la perpendiculaire à (BC) qui passe par C et plaçons sur cette perpendiculaire le point D tel que AC = CD avec A et D de part et d’autre de la droite (BC) comme le montre la figure suivante :

Par construction, CBD est rectangle en C donc, d’après le théorème de Pythagore, BD² = BC² + AC² ; en comparant cette égalité avec AB² = BC² + CA² que vérifie le triangle ABC, on en déduit que BD² = AB². Ainsi, le carré de côté BD et celui de côté AB ont la même aire : ils ont donc les même côtés, ce qui signifie que BD = AB ou encore que B est à la même distance de A et de D donc B est sur la médiatrice de [AD].

Par construction, on a AC = CD donc C est aussi sur la médiatrice de [AD].

B et C étant sur la médiatrice de [AD], cela signifie que (BC) est la médiatrice de [AD] et donc que A et D sont symétriques par rapport à (BC). Il en résulte que les triangles ABC et DBC sont symétriques par rapport à (BC) et donc que ces 2 triangles sont superposables.

Or, DBC est un triangle rectangle donc ABC est aussi un triangle rectangle. CQFD [1].

Notes

[1Ce Qu’il Fallait Démontrer