Calculer avec les racines carrées

(actualisé le ) par Michel Suquet

Un article détaille les liens entre carrés et racines carrées. Nous donnons ici quelques explications en ce qui concerne les règles de calculs avec les racines carrées.

Théorème

Pour tout nombre $a>0$ et $b>0$,
- ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$
- ${\sqrt{a^2}} = a$
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Démonstration

- Soit un nombre $a$ positif,
par définition,$ \sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$
d’où l’égalité ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$ CQFD

- Soit un nombre $a$ positif,
En utilisant cette définition, ${\sqrt{a^2}}$ est le nombre positif dont le carré est $a^2$
Or, $a$ est aussi le nombre positif dont le carré est $a^2$
donc ${\sqrt{a^2}} = a$ CQFD

- Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs,
par définition, $\sqrt{a \times b}$ est le nombre positif dont le carré est $a \times b$

Calculons le carré de $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ :
${(\sqrt{a} \times \sqrt{b})}^2 = {(\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})}^2 = a \times b$

Ainsi, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est aussi le nombre positif (car produit de deux nombres positifs) dont le carré est $a \times b$
donc $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ CQFD

- voici une autre démonstration (plus courte) de l’égalité précédente :
on utilise les règles ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$, ${a^2}\times{b^2}=({a}\times{b})^2$ et ${\sqrt{a^2}} = a$

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs,
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{{(\sqrt{a})}^2 \times {(\sqrt{b})}^2} = \sqrt{{{(\sqrt{a}} \times {\sqrt{b})}}^2} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ CQFD

- Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs avec $b \ne 0$,
par définition, $\sqrt{\frac{a}{b}}$ est le nombre positif dont le carré est $\frac{a}{b}$

Calculons le carré de $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ :
${(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})}^2$ = $\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$

Ainsi, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est aussi le nombre positif (car quotient de deux nombres positifs) dont le carré est $\frac{a}{b}$
donc $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ CQFD

- voici une autre démonstration (plus courte) de l’égalité précédente :

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs avec $b \ne 0$,
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}} = \sqrt{(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ CQFD